Cập nhật nội dung chi tiết về Định Luật Giới Hạn Trung Tâm Là Gì? mới nhất trên website Sieuphampanorama.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Học thuật
Định luật giới hạn trung tâm (central limit theorem) là định lý khẳng định rằng tổng (và số bình quân) của một tập hợp các biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn, khi mẫu được chọn có quy mô đủ lớn, cho dù từng biến cá biệt chấp nhận dạng phân phối nào.
Định luật giới hạn trung tâm (central limit theorem) là định lý khẳng định rằng tổng (và số bình quân) của một tập hợp các biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn, khi mẫu được chọn có quy mô đủ lớn, cho dù từng biến cá biệt chấp nhận dạng phân phối nào. Nó thường được sử dụng để biện minh cho giả định về tính chuẩn của phần biểu thị sai số trong các công trình nghiên cứu kinh tế lượng sử dụng thống kê T để kiểm định giả thuyết thống kê, vì phần biểu thị sai số được giả định là bao gồm một tập hợp các yếu tố ngẫu nhiên bị bỏ qua.
Trong xác suất, định luật giới hạn trung tâm là định luật nổi tiếng và có vai trò quan trọng. Nó là kết quả về sự hội tụ yếu của một dãy các biến ngẫu nhiên. Với định luật này, ta có kết quả là tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập và phân phối đồng nhất theo cùng một phân phối xác suất, sẽ hội tụ về một biến ngẫu nhiên nào đó.
Sự hội tụ được đảm bảo trong trường hợp đơn giản này. Tuy nhiên cũng tồn tại sự hội tụ trong trường hợp các biến ngẫu nhiên không cùng phân phối, nhưng vẫn phải đảm bảo điều kiện không có biến ngẫu nhiên nào có phân phối trội hơn hoặc gây ảnh hưởng đến phân phối của các biến ngẫu nhiên khác. Điều này được đảm bảo bởi điều kiện Lindeberg và điều kiện Lyapunov. Một số phiên bản khác của định luật cũng cho phép sự phụ thuộc yếu giữa các biến ngẫu nhiên.
Định Luật Moore Sắp Đạt Tới Giới Hạn
Trong phòng nghiên cứu của Micron Technology người ta thấy những miếng silicon được phủ bằng những hình chữ nhật nhỏ có kích thước bằng hạt gạo. Mỗi hình chữ nhật đó được gọi là một tế bào chip nhớ. Mỗi tế bào chứa vòng mạch kín có kích thước 50-nanometers – tương đương với kích thước 1/2.000 sợi tóc.
Đạt được thành quả này là nhờ các nhà sản xuất chip đã liên tục nghiên cứu giảm kích thước vòng mạch và kích cỡ chip nhớ, giúp cho chúng có thể lưu trữ được nhiều dữ liệu số hơn. Nhưng các nhà sản xuất chip thế giới hiện lại đang lo ngại về một ngày không xa nữa công nghệ sản xuất chip nhớ silicon đạt đến giới hạn quy luật vật lý của nó và không thể tiếp tục tuân thủ đúng theo định luật Moore nữa. Điều này đồng nghĩa với việc chip nhớ không thể thu nhỏ hơn được nữa.
“Chúng ta cần phải có một kiến trúc mới cho dòng bộ nhớ không biến đổi khi kích thước vòng mạch đạt tới cỡ 25-nanometers,” Mike Splinter – Giám đốc hãng cung cấp công cụ sản xuất chip nhớ hàng đầu thế giới Applied Materials – nhận định. “Giờ đây tôi đã thực sự cảm thấy lo lắng về vấn đề này bởi giới hạn 25-nanometers không còn xa nữa. Tuy nhiên, đó còn lả cả một thách thức nếu chúng ta muốn thay đổi quy trình công nghệ sản xuất chip nhớ”.
Tình trạng này sẽ khiến quá trình phát triển của các dòng thiết bị như máy nghe nhạc số cầm tay hay camera kỹ thuật số sẽ bị chậm lại trong một vài năm.
Định luật Moore
Hiện tiến trình giảm kích thước chip nhớ và chip vi xử lý vẫn tuân thủ theo đúng định luật Moore đã được người sáng lập ra Intel Gordon Moore xác lập năm 1965. Theo đó, Moore khẳng định số lượng transistor có thể gắn lên một bề mặt silicon nhất định sẽ tăng gấp đôi sau mỗi 2 năm. Về sau này trước sự phát triển của công nghệ sản xuất chip Moore quyết định rút khoảng thời gian đó xuống còn 18 tháng.
Có vẻ như giới hạn định luật Moore đến với lĩnh vực sản xuất chip nhớ nhanh hơn với lĩnh vực sản xuất chip vi xử lý cho PC. Nguyên nhân là bởi hai dòng chip này khác nhau về phương thức vận hành. Chip vi xử lý sử dụng vòng mạch để làm đường dẫn cho các dòng electron. Trong khi đó, chip nhớ sử dụng các electron có chứa điện tích để lưu trữ dữ liệu. Nếu kích thước vùng chứa electrons đó nhỏ đi thì con chip sẽ rất khó đọc được dữ liệu.
Đối với vị giám đốc phụ trách marketing sản phẩm Tom Trill của Samsung Electronics thì lo ngại nói trên đã không còn quá xa vời nữa. “Đó là một câu hỏi và chúng ta cũng đã có câu trả lời. Nhưng dường như mọi người đã quá bi quan trong thời gian trở lại đây”.
Các hãng sản xuất chip đã phải đổ hàng trăm triệu USD để nghiên cứu và hoàn thiện công nghệ sản xuất mới. Giải pháp thay thế ở đây nghe có vẻ rất viễn tưởng gồm M-RAM, P-RAM, bộ nhớ mô-đun và carbon nanotubes. “Tương lai gần chúng ta cần phải có thêm những công nghệ mới,” Mark Durcan – Giám đốc điều hành Micron Technology – khẳng định.
Có thể nói hiện nay hầu hết các hãng sản xuất chip đều rót tiền vào nghiên cứu công nghệ mới. Trong đó phải kể đến những tên tuổi hàng đầu như Intel, Hynix Semiconductor, Infineon, Toshiba, Hitachi và Fujitsu. Một trong những công nghệ mới được kỳ vọng nhất là P-RAM hay còn gọi là bộ nhớ thay đổi trạng thái. Vật liệu lưu trữ dữ liệu sẽ thay đổi trạng thái khi lưu dữ liệu thay vì thay đổi lượng điện tích như công nghệ hiện nay. Hình thức lưu trữ này tương tự như kiểu lưu trữ dữ liệu trên đĩa quang CD hiện nay.
Đèn xanh
Tháng 12/2006, IBM ra mắt cộng đồng một mẫu thử nghiệm chip nhớ mới có khả năng vận hành nhanh hơn tới 500 lần trong khi đó chỉ tiêu thụ một lượng điện năng bằng nửa chip nhớ flash hiện nay. Đây chính là mẫu thử nghiệm chip nhớ P-RAM. Quan trọng hơn là các nhà nghiên cứu của IBM chứng minh công nghệ chip nhớ trên có thể giúp giảm kích thước vòng mạch xuống 20-nanometer. “Đó chính là tín hiệu đèn xanh đối với ngành công nghiệp chip nhớ toàn cầu. Chúng ta nên tiếp tục đầu tư nghiên cứu thêm về công nghệ này,” ông Spike Narayan – Giám đốc quản lý nghiên cứu khoa học nano của IBM – nhận định.
Một công nghệ cũng đầy hứa hẹn khác là công nghệ lưu trữ từ tính. Chủng loại bộ nhớ này sử dụng từ tính thay vì các hạt điện tích. Ngoài ra còn có công nghệ khác như công nghệ lưu trữ mô-đun hay công nghệ carbon nanotubes. Thách thức với những công nghệ này là chi phí sản xuất của nó quá đắt.
Nhưng có lẽ sẽ có một công nghệ mới tìm được chỗ đứng của nó trên thị trường trong tương lai. Công nghệ mới phải đáp ứng một vài yêu cầu quan trọng như có thể lưu trữ lượng dữ liệu lớn, đọc và ghi dữ liệu nhanh và có thể giữ được dữ liệu ngay cả khi nguồn điện bị ngắt.
Yếu tố quan trong nhất là công nghệ đó có thể được sản xuất trên nền tảng kỹ thuật hiện có hoặc phải đủ hấp dẫn để các hãng đầu tư xây dựng dây chuyền sản xuất hoàn toàn mới.
“Cứ sau hai năm lại có một người xuất hiện và tuyên bố phát hiện được một công nghệ chip nhớ hoàn toàn mới. Nhưng những công nghệ đó vẫn phải đối mặt với một số giới hạn kỹ thuật,” chuyên gia phân tích In-Stat Jim McGregor cho biết. “Những công nghệ đó đầy hứa hẹn nhưng vấn đề lớn là liệu nó đi vào thực tế thế nào”.
(theo VNN)
Luật Số Lượng Lớn Và Định Lý Giới Hạn. Luật Số Lượng Lớn
Nếu hiện tượng bền vững Ở giữa Thực sự có trong thực tế, sau đó trong mô hình toán học, mà chúng ta nghiên cứu những hiện tượng ngẫu nhiên, nên tồn tại phản ánh định lý thực tế này. Trong các điều kiện của định lý này, chúng tôi giới thiệu các hạn chế đối với các biến ngẫu nhiên 1 , X. 2 , …, X n.:
a) Mỗi u200bu200bgiá trị ngẫu nhiên X I. Có kỳ vọng toán học
b) Sự phân tán của từng biến ngẫu nhiên là hữu hạn hoặc, chúng ta có thể nói rằng sự phân tán được giới hạn từ trên cùng một số, ví dụ: TỪ, I E.
Sau đó, rõ ràng
Chúng tôi xây dựng luật số lượng lớn dưới dạng Ch Quashev.
Định lý Ch Quashev: với sự gia tăng không giới hạn về số lượng n. Thử nghiệm độc lập ” các giá trị quan sát số học trung bình của phương sai ngẫu nhiên hội tụ trong xác suất đối với kỳ vọng toán học của nó.“, I.E. cho bất kỳ tích cực nào ε
Ý nghĩa của biểu thức Số học trung bình u003d hội tụ trong xác suất một “ Đó có phải là khả năng sẽ khác nhau cũ kể từ khi A., không giới hạn tiếp cận 1 với sự gia tăng số lượng n..
Chứng cớ. Đối với một số hữu hạn n. Các bài kiểm tra độc lập áp dụng bất bình đẳng Ch Quashev cho biến ngẫu nhiên = :
Đưa ra những hạn chế A – B, tính toán M.() TÔI. D.():
D.() = = = = = = .
Thay thế M.() TÔI. D.() trong bất đẳng thức (4.1.2), chúng tôi nhận được
Nếu bất đẳng thức (4.1.2) hãy chỉ một cách tùy tiện ε u003e 0i. n. ®, sau đó nhận được
= 1,
trong đó chứng minh định lý của Ch Quashev.
Trường hợp tư nhân. Hãy để n. Xét nghiệm được quan sát n. Biến ngẫu nhiên X. có kỳ vọng toán học M.( X.) và phân tán. D.( X.). Các giá trị thu được có thể được xem dưới dạng các biến ngẫu nhiên. Hòx 1 , Hòx 2 , Hòx 3 , … , X n.,. Điều này nên được hiểu là: một loạt p. Các thử nghiệm được thực hiện nhiều lần, do đó kết quả là tÔI.– kiểm tra, tÔI.u003d L, 2, 3, …, p., Trong mỗi loạt các bài kiểm tra, giá trị này hoặc giá trị của một biến ngẫu nhiên sẽ xuất hiện. X.không được biết trước. Vì thế, tÔI.-E giá trị x I. Biến ngẫu nhiên thu được trong tÔI.– Kiểm tra, thay đổi ngẫu nhiên, nếu bạn di chuyển từ một chuỗi thử nghiệm này sang loạt bài kiểm tra khác. Vì vậy, mỗi giá trị x I.có thể được coi là một biến ngẫu nhiên X i.
Giả sử rằng các thử nghiệm đáp ứng các yêu cầu sau:
1. Các bài kiểm tra là độc lập. Điều này có nghĩa là kết quả Hòx 1 , Hòx 2 , Hòx 3 , …, X n. Các thử nghiệm là các biến ngẫu nhiên độc lập.
2. Các thử nghiệm được thực hiện trong cùng điều kiện – điều này có nghĩa là từ quan điểm về lý thuyết xác suất, đó là từ các biến ngẫu nhiên Hòx 1 , Hòx 2 , Hòx 3 , … , X n. có luật phân phối tương tự như giá trị ban đầu X., vì thế M.( X I.) u003d M.( X.) và D.( X I.) = D.( X.), tÔI. = 1, 2, …. p.
Xem xét các điều kiện trên, chúng tôi nhận được
Ví dụ 4.1.1. X. bằng 4. Có bao nhiêu thí nghiệm độc lập được yêu cầu để có xác suất ít nhất 0,9, có thể hy vọng rằng giá trị số học của biến ngẫu nhiên này sẽ khác với kỳ vọng toán học dưới 0,5?
Từ mối quan hệ
1 – = 0,9
mục đích
Câu trả lời: Cần tạo 160 thí nghiệm độc lập.
Nếu chúng ta giả sử rằng số học trung bình nó được phân phối bình thường, sau đó chúng tôi nhận được:
Từ đâu, sử dụng bảng của hàm laplace, chúng ta nhận được 1.645, hoặc ≥ 6,58, I.E. N. ≥49.
Ví dụ4.1.2. Phân tán biến ngẫu nhiên Hòx bằng d ( Hòx) u003d 5. 100 thí nghiệm độc lập đã được sản xuất theo tính toán . Thay vì một giá trị không xác định của kỳ vọng toán học nhưngcon nuôi . Xác định giá trị lỗi tối đa được phép với xác suất ít nhất 0,8.
Từ mối quan hệ
mục đích ε :
ε 2 = = = 0,25.
Vì thế, ε = 0,5.
Câu trả lời: Giá trị tối đa của lỗi ε = 0,5.
4.2. Luật số lượng lớn ở dạng Bernoulli
Định lý Bernoulli. Với sự gia tăng không giới hạn về số lượng các bài kiểm tra độc lập p. Tần suất sự kiện tương đối NHƯNGhội tụ như xác suất p. Sự kiện xuất hiện NHƯNG, t. e.
Ở đâu ε – Thỉnh thoảng một số lượng nhỏ tích cực.
Cho hữu hạn n.cung cấp điều đó , Sự bất bình đẳng chebyshev cho một biến ngẫu nhiên sẽ xem xét:
Chứng cớ. Áp dụng định lý của Ch Quashev. Để cho được X I. – Số lượng sự kiện NHƯNG trong tÔI.kiểm tra, tÔI.= 1, 2, . . . , n. . Mỗi giá trị X I. chỉ có thể lấy hai giá trị:
X I.u003d 1 (sự kiện NHƯNG đến) với xác suất p.,
Để cho được Y n.u003d. Tổng X. 1 + X. 2 + … + X n. bằng số m.sự kiện xuất hiện NHƯNG trong n.kiểm tra (0. m. n.), và do đó Y n.u003d – Tần suất tương đối của các sự kiện NHƯNG trong n.kiểm tra. Chờ toán và phân tán X I. bằng nhau, tương ứng:
Lý thuyết về xác suất được nghiên cứu các mẫu vốn có trong các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt. Giống như bất kỳ khoa học nào khác, lý thuyết xác nhận có thể có thể dự đoán chính xác hơn kết quả của một hiện tượng hoặc thí nghiệm. Nếu hiện tượng thuộc về một ký tự, lý thuyết xác suất có khả năng dự đoán chỉ có khả năng kết quả trong các giới hạn rất rộng. Các mẫu được biểu hiện chỉ với một số lượng lớn các hiện tượng ngẫu nhiên xảy ra trong các điều kiện đồng nhất.
Có hai loại định lý giới hạn: Luật số lượng lớn và định lý giới hạn trung tâm.
Luật số lượng lớn Nơi quan trọng nhất trong lý thuyết xác suất là một mối liên hệ giữa lý thuyết xác suất là khoa học toán học và luật pháp của các hiện tượng ngẫu nhiên với các quan sát hàng loạt so với họ.
1. nhưng) Định lý Bernoulli là luật số lượng lớn (nó đã được xây dựng và đã được chứng minh trước đó trong đoạn 3 của § 6 khi xem xét định lý tích hợp giới hạn của Moreav-Laplace.)
Với sự gia tăng không giới hạn về số lượng thí nghiệm độc lập đồng nhất, tần số sự kiện sẽ khác nhau nhiều so với khả năng của một sự kiện trong một trải nghiệm riêng biệt. Nếu không, khả năng độ lệch của tần số tương đối của các sự kiện NHƯNG Từ xác suất liên tục Ở r sự kiện NHƯNG Rất ít khi phấn đấu cho 1 tại bất kỳ: .
b) Định lý Ch Quashev.
Với sự gia tăng không giới hạn về số lượng các thử nghiệm độc lập, trung bình số học của các giá trị quan sát được của một biến ngẫu nhiên có sự phân tán cuối cùng hội tụ về khả năng đối với toán học khác, nếu các biến ngẫu nhiên được phân phối bằng nhau với kỳ vọng toán học và phân tán hạn chế, Sau đó, tại bất kỳ cụ thể: .
Định lý Ch Quashev (Tổng quát).Nếu các biến ngẫu nhiên trong chuỗi là độc lập theo cặp và phân tán của chúng đáp ứng điều kiện Đối với bất kỳ dương εu003e 0, sự chấp thuận là đúng:
hoặc cái đó giống nhau .
c) Định lý Markov. (Luật số lượng lớn trong công thức chung)
Nếu sự phân tán các biến ngẫu nhiên tùy ý trong trình tự thỏa mãn điều kiện: , đối với bất kỳ dương tính nào là εu003e 0, tuyên bố về định lý Ch Quashev: .
d) Định lý Poisson.
Với sự gia tăng không giới hạn về số lượng thí nghiệm độc lập trong các biến, tần số sự kiện NHƯNG hội tụ trong xác suất đến xác suất số học trung bình trong các thử nghiệm này.
Vào đầu khóa học, chúng tôi đã nói về thực tế là luật toán học của lý thuyết xác suất thu được bằng cách trừu tượng hóa các mẫu thống kê thực sự vốn có trong các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt. Sự hiện diện của các mô hình này là do sự lưu vực của hiện tượng, đó là, với một số lượng lớn các thí nghiệm đồng nhất được thực hiện hoặc với một số lượng lớn ảnh hưởng ngẫu nhiên gấp, tạo ra một lượng ngẫu nhiên phụ thuộc vào một luật hoàn toàn nhất định. Tính chất của sự bền vững của các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt được biết đến với nhân loại kể từ thời cổ đại sâu sắc. Trong bất kỳ khu vực nào được biểu hiện, nó được giảm xuống như sau: Các tính năng cụ thể của từng hiện tượng ngẫu nhiên riêng lẻ gần như không ảnh hưởng đến kết quả trung bình của khối lượng và các hiện tượng đó; Độ lệch ngẫu nhiên từ trung bình, không thể tránh khỏi trong từng hiện tượng riêng lẻ, trong khối lượng bị từ chối lẫn nhau, được san bằng, phù hợp. Đó là tính bền vững của mức trung bình và đại diện cho hàm lượng vật lý của “luật số lớn”, được hiểu theo nghĩa rộng của từ: với một số lượng rất lớn các hiện tượng ngẫu nhiên, kết quả của chúng thực sự không còn ngẫu nhiên và có thể được dự đoán với một mức độ lớn của sự chắc chắn.
Theo nghĩa hẹp của từ theo “luật số lượng lớn” trong lý thuyết xác suất, một số định lý toán học được hiểu, trong mỗi điều kiện nhất định, thực tế là xấp xỉ các đặc điểm trung bình của một số lượng lớn thí nghiệm đến một số hằng số cụ thể được thiết lập.
Trong 2.3, chúng tôi đã xây dựng đơn giản nhất trong số các định lý này – Định lý Ya. Bernoulli. Cô tuyên bố rằng với một số lượng lớn các thí nghiệm, tần suất sự kiện đang đến gần (chính xác hơn – hội tụ có khả năng) với khả năng của sự kiện này. Với các hình thức khác, phổ biến hơn của luật số lượng lớn, chúng ta sẽ làm quen trong chương này. Tất cả trong số họ thiết lập thực tế và điều kiện hội tụ về khả năng của một số biến ngẫu nhiên nhất định liên tục, không phải giá trị ngẫu nhiên.
Luật số lượng lớn đóng một vai trò quan trọng trong các ứng dụng thực tế của lý thuyết xác suất. Tính chất của các biến ngẫu nhiên trong một số điều kiện nhất định để hành xử gần như không có tình cờ cho phép bạn tự tin vận hành với các giá trị này, dự đoán kết quả của các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt với sự chắc chắn gần như hoàn toàn.
Các hình thức khác nhau của luật số lượng lớn cùng với các hình thức khác nhau của định lý giới hạn trung tâm tạo thành một tập hợp các định lý giới hạn được gọi là lý thuyết xác suất. Hạn chế định lý cung cấp cơ hội không chỉ để thực hiện dự báo khoa học trong lĩnh vực hiện tượng ngẫu nhiên mà còn để đánh giá tính chính xác của các dự báo này.
Trong chương này, chúng tôi sẽ chỉ xem xét một số, các hình thức định lý giới hạn đơn giản nhất. Đầu tiên, các định lý thuộc nhóm “Luật số lượng lớn” sẽ được xem xét, sau đó các định lý thuộc nhóm “Định lý giới hạn trung tâm”.
Nó khá tự nhiên để định lượng tuyên bố rằng trong loạt bài kiểm tra “lớn” về tần suất của sự kiện “Đóng” vào xác suất của nó. Rõ ràng là hãy tưởng tượng sự tinh tế nổi tiếng của nhiệm vụ này. Thông thường nhất về lý thuyết về xác suất, tình hình là tình huống theo cách mà trong một loạt các thử nghiệm dài tùy ý vẫn còn về mặt lý thuyết, cả hai giá trị tần số cực đoan
\ Frac (\ mu) (n) u003d \ frac (n) (n) u003d 1 và \ Frac (\ mu) (n) u003d \ frac (0) (n) u003d 0
Do đó, những gì sẽ là số lượng thử nghiệm n, không thể được chấp thuận với độ tin cậy đầy đủ, sẽ được thực hiện, nói, bất bình đẳng
Trong tất cả các nhiệm vụ như vậy, bất kỳ ước tính không cần thiết nào về độ gần giữa tần số và xác suất không hoàn toàn chính xác, mà chỉ với một số ít hơn một xác suất. Ví dụ, bạn có thể chứng minh rằng trong trường hợp các bài kiểm tra độc lập với xác suất liên tục của một sự kiện trong sự xuất hiện của các sự kiện
\ Vline \, \ frac (\ mu) (n) -p \, \ vline \,<0,!02
Đối với tần số \ frac (\ mu) (n) sẽ được thực hiện ở n u003d 10 \, 000 (và bất kỳ p nào) với xác suất
Pu003e 0, \! 9999.
Ở đây, trước hết, chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng trong công thức trên, ước tính định lượng của độ gần của tần số \ frac (\ mu) (n) được liên kết với sự ra đời của một xác suất mới.
Ý nghĩa thực sự của đánh giá (8) như sau: Nếu bạn tạo ra một loạt các bài kiểm tra N và để đếm số m của loạt bài, trong đó bất đẳng thức (7) được thực hiện, sau đó với một N đủ lớn khoảng
\ Frac (m) (n) \ xấp xỉ pu003e 0, \! 9999.
Không nên nghĩ rằng loại khó khăn này là một số tính năng của lý thuyết xác suất. Với nghiên cứu toán học về hiện tượng thực tế, chúng tôi luôn sơ đồ chúng. Độ lệch của hiện tượng thực tế từ sơ đồ lý thuyết có thể, lần lượt, sẽ phải tuân theo nghiên cứu toán học. Nhưng đối với điều này, những sai lệch này phải được đưa vào một số kế hoạch và sau này để thưởng thức mà không cần phân tích toán học chính thức về những sai lệch từ nó.
LƯU Ý, tuy nhiên, với ứng dụng thực sự của đánh giá
Đối với một loạt bài kiểm tra n, chúng tôi dựa vào một số cân nhắc về đối xứng: bất bình đẳng (10) chỉ ra rằng với một số rất lớn dòng N, tỷ lệ (7) sẽ được thực hiện ít nhất 99,99% trường hợp; Đương nhiên, điều quan trọng là hy vọng rằng, đặc biệt, bất bình đẳng (7) sẽ được thực hiện trong một loạt các bài kiểm tra mối quan tâm của chúng tôi, nếu chúng ta có lý do để tin rằng loạt phim này trong một số loạt khác chiếm một số bình thường, Không có vị trí đặc biệt.
Các xác suất bị bỏ quên trong các quy định thực tế khác nhau là khác nhau. Nó đã được lưu ý rằng trong các tính toán ước tính của mức tiêu thụ thông qua, đảm bảo sự hoàn thành của nhiệm vụ, hài lòng với tốc độ tiêu thụ thông qua, mà tại đó nhiệm vụ được giải quyết với xác suất 0,95, tức là họ bỏ bê xác suất không vượt quá 0,05. Điều này được giải thích bởi thực tế là việc chuyển đổi để tính toán phát ra từ bỏ qua từ bỏ qua, giả sử, chỉ có xác suất, ít hơn 0,01, sẽ dẫn đến sự gia tăng lớn về chi phí của các đoạn đạn, tức là trong nhiều trường hợp, đến kết luận về Sự bất khả thi của việc hoàn thành nhiệm vụ trong khoảng thời gian ngắn có sẵn cho việc này, hoặc thực sự có thể được sử dụng bởi sự dự trữ của vỏ.
P_ (10) u003d p ^ (10), \ qquad p_9 u003d 10p ^ 9 (1-p), \ qquad p_8 u003d 45p ^ 8 (1-p) ^ 2.
Trong số tiền cho trường hợp p u003d \ frac (1) (2) chúng tôi nhận được P u003d p_ (10) + p_9 + p_8 u003d \ frac (56) (1024) \ xấp xỉ, \! 05.
Nếu định mức 0,05 đối với các nghiên cứu khoa học nghiêm trọng rõ ràng là không đủ, thì xác suất của một lỗi trong 0,001 hoặc 0,003 chủ yếu được đưa vào ngay cả trong nghiên cứu học tập và kỹ lưỡng như đang điều trị các quan sát thiên văn. Tuy nhiên, đôi khi các kết luận khoa học dựa trên việc sử dụng các mẫu xác suất và độ tin cậy lớn hơn đáng kể (tức là được xây dựng để bỏ qua các xác suất thấp hơn đáng kể). Điều này sẽ được nói thêm.
Trong các ví dụ được xem xét, chúng tôi đã nhiều lần sử dụng các trường hợp riêng tư của công thức nhị thức (6)
P_m u003d c_n ^ mp ^ m (1-p) ^ (n-m)
Đối với xác suất P_M, để có được chính xác các kết quả dương tính với các bài kiểm tra độc lập N, trong mỗi kết quả tích cực có xác suất P. Hãy xem xét với sự trợ giúp của công thức này, câu hỏi được thực hiện ở đầu đoạn này, về khả năng
trong đó \ mu là số lượng thực tế của kết quả tích cực. Rõ ràng, xác suất này có thể được ghi lại là tổng của các p_m đó, trong đó m thỏa mãn bất đẳng thức
\ vline \, \ frac (m) (n) -p \, \ vline \, đó là, dưới dạng
P u003d \ sum_ (m u003d m_1) ^ (m_2) p_m,
trong đó m_1 là nhỏ nhất trong số các giá trị của m thỏa mãn bất bình đẳng (12) và m_2 là lớn nhất trong số này m.
Công thức (13) với bất kỳ NS lớn nào rất thích hợp để tính toán trực tiếp. Do đó, việc phát hiện ra MOAVR rất quan trọng đối với trường hợp P u003d \ frac (1) (2) và Laplace với bất kỳ công thức pus triệu P nào, giúp nó rất dễ tìm và khám phá hành vi của xác suất P_M với n lớn. Công thức này có hình thức
P \ sim \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi np (1-p))) \ exp \! \ Left [- \ frac ((m-np) ^ 2) (2np (1-p)) \ Đúng].
Nếu p không quá gần bằng 0 hoặc đơn vị, thì nó khá chính xác cho n khoảng 100. Nếu bạn đặt
T u003d \ frac (m-np) (\ sqrt (np (1-p))),
Sau đó công thức (14) sẽ có được chế độ xem
P \ sim \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi np (1-p))) \, e ^ (- t ^ 2/2).
Từ (13) và (16) bạn có thể rút một biểu diễn gần đúng của xác suất (11)
P \ sim \ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi)) \ int \ giới hạn _ (- t) ^ (t) e ^ (- t ^ 2/2) \, dt u003d f (t),
T u003d \ varepsilon \ sqrt (\ frac (n) (p (1 p)))
Sự khác biệt giữa các phần bên trái và bên phải trong (17) là hằng số và khác với số 0 và đơn vị P có xu hướng n \ đến \ infty so với \ Varepsilon về 0. Đối với chức năng f (t) các bảng chi tiết được biên dịch. Đây là một đoạn trích ngắn của họ
Khi t \ to \ encty, giá trị của hàm f (t) tìm kiếm một đơn vị.
Chúng tôi sản xuất với sự trợ giúp của công thức (17) đánh giá xác suất
P u003d \ mathbf (p) \! \ Left \ (\, \ vline \, \ frac (\ mu) (n) -p \, \ vline \,<0,!02right}approx F!left(frac{2}{sqrt{p(1-p)}}right) cho n u003d 10 \, 000, ~ \ varepsilon u003d 0, \! 02, như T u003d \ frac (2) (\ sqrt (p (1-p))).
Vì hàm f (t) tăng theo đơn điệu tăng dần, sau đó không phụ thuộc vào ước tính P P, cần phải có giá trị nhỏ nhất có thể (ở p) khác nhau. Một giá trị nhỏ nhất có được ở p u003d \ frac (1) (2) và nó sẽ bằng 4. Do đó, xấp xỉ
P \ GEQSLANT F (4) u003d 0, \! 99993.
Quan hệ (11), (17) và (18) có thể được viết lại như
\ Mathbf (p) \! \ Left \ (\, \ vline \, \ frac (\ mu) (n) -p \, \ vline \,
Đối với một t đủ lớn, phía bên phải của công thức (20), không chứa n, gần với một, đó là gần đó, đó là giá trị của xác suất hoàn toàn tự tin. Chúng tôi thấy theo cách như vậy theo quy định, độ lệch tần số \ frac (\ mu) (n) từ xác suất P đã đặt hàng \ Frac (1) (\ sqrt (n)). Tỷ lệ chính xác của tính chính xác của hiệu lực của các mẫu xác suất trong căn bậc hai từ số lượng quan sát là điển hình và đối với nhiều vấn đề khác. Đôi khi họ nói có phần phổ biến đơn giản hóa về “luật của một căn bậc hai từ n” là luật chính của lý thuyết xác suất. Suy nghĩ này đã đầy đủ nhờ sự ra đời của nhà toán học vĩ đại Nga P. L. Ch Quashev trong việc sử dụng hệ thống của phương pháp các nhiệm vụ xác suất khác nhau để tính toán “kỳ vọng toán học” và “phân tán” cho các khoản tiền và số học trung bình “” biến ngẫu nhiên “.
Biến ngẫu nhiên Được gọi là giá trị trong các điều kiện này có thể có các giá trị khác nhau với xác suất nhất định. Đối với chúng tôi, nó đủ để xem xét các biến ngẫu nhiên có thể chỉ mất một số lượng hữu hạn các giá trị khác nhau. Để chỉ ra như họ nói phân phối xác suất Loại biến ngẫu nhiên này \ Xi là đủ để chỉ định các giá trị có thể của nó x_1, x_2, \ ldots, x_r và xác suất
P_r u003d \ mathbf (p) \ (\ xi u003d x_r \).
Trong số lượng các xác suất này trong tất cả các giá trị có thể khác nhau của độ lớn \ XI luôn bằng một:
\ Sum_ (r u003d 1) ^ (s) p_r u003d 1.
Một ví dụ về một biến ngẫu nhiên có thể đóng vai trò là số lượng \ mu của kết quả tích cực trong các thử nghiệm.
Kỳ vọng toán học. Giá trị \ Xi gọi là biểu thức
M (\ xi) u003d \ sum_ (r u003d 1) ^ (s) p_rx_r,
nhưng phân tán. Các giá trị \ XI được gọi là kỳ vọng toán học của hình vuông của độ lệch \ Xi – M (\ Xi), I.E. Biểu thức
D (\ xi) u003d \ sum_ (r u003d 1) ^ (s) p_r (x_r-m (\ Xi)) ^ 2.
Căn bậc hai từ sự phân tán
\ sigma _ (\ xi) u003d \ sqrt (d (\ Xi)) u003d \ sqrt (\ sum_ (r u003d 1) ^ (s) p_r (x_r-m (\ Xi)) ^ 2)
gọi là Độ lệch bậc hai trung bình (giá trị từ kỳ vọng toán học M (\ Xi)).
Cơ sở của các ứng dụng đơn giản nhất về sự phân tán và độ lệch bậc hai trung bình là nổi tiếng bất đẳng thức chebyshev.
Nó cho thấy độ lệch của biến ngẫu nhiên \ XI từ kỳ vọng toán học M (\ Xi), vượt quá đáng kể độ lệch bậc hai trung bình \ sigma _ (\ Xi), rất hiếm.
Khi tạo biến ngẫu nhiên \ Xi u003d \ Xi ^ (((1)) + \ Xi ^ ((2)) + \ cdots + \ Xi ^ ((n)) Bình đẳng luôn luôn diễn ra cho kỳ vọng toán học của họ.
M (\ Xi) u003d M (\ Xi ^ ((1))) + M (\ Xi ^ ((2))) + \ cdots + m (\ Xi ^ ((n))).
Bình đẳng tương tự để phân tán
D (\ xi) u003d D (\ Xi ^ ((1))) + D (\ Xi ^ (((2))) + \ cdots + d (\ Xi ^ ((n))).
Đúng chỉ với một số hạn chế. Đối với bình đẳng vốn cổ phần (23), ví dụ, nó là đủ, các giá trị \ Xi ^ ((i)) và \ Xi (((((i)) và \ Xi ^ (((j)) không , như họ nói, “tương quan” giữa họ, tức là, để tôi \ ne j đã được thực hiện bình đẳng
M \ bigl \ (\ xi ^ (((i)) – m (\ Xi ^ ((i))))) (\ Xi ^ (((j)) – m (\ Xi ^ ((j))) ) Lớn \) u003d 0
Hệ số tương quan giữa các giá trị ngẫu nhiên \ Xi ^ (((i)) và \ Xi ^ ((j)) được gọi là biểu thức
R u003d \ frac (m \ bigl \ (\ bigl (\ xi ^ (((i)) – m (\ Xi ^ (((i))) \ bigl) \ bigl (\ Xi ^ ((((j)) – M (\ Xi ^ (((j))) \ big) \ big \)) (\ sigma _ (\ Xi ^ ((i))) \, \ sigma _ (\ Xi ^ (((j))) ).
Nếu một \ Sigma _ (\ xi ^ (((i))u003e 0 trong \ Sigma _ (\ Xi ^ ((j))u003e 0, Điều kiện (24) tương đương với thực tế là r u003d 0.
\ eta u003d a \ Xi + B \ Quad (a \ ne0).
Đối với các giá trị độc lập r u003d 0.
Đặc biệt, bình đẳng (24) được quan sát nếu các giá trị của \ Xi ^ ((i)) và \ Xi ^ ((j)) là độc lập. Do đó, bình đẳng (23) luôn hợp lệ cho các điều khoản độc lập lẫn nhau. Đối với số học cỡ trung bình
\ Zeta u003d \ frac (1) (n) \ bigl (\ xi ^ (((1)) + \ xi ^ ((2)) + \ cdots + \ Xi ^ ((n)) \ bigl) từ (23) sau
D (\ zeta _ u003d \ frac (1) (n ^ 2) \ bigl (d (\ Xi ^ ((1))) + d (\ Xi ^ (((2))) + \ cdots + d (\ Xi ^ ((n))) \ bigl).
Giả sử bây giờ cho tất cả các thuật ngữ phân tán không vượt quá một số hằng số
D (\ Xi ^ ((i))) \ Leqslant c ^ 2. Sau đó bởi (25) D (\ zeta) \ leqslant \ frac (c ^ 2) (n),
Bất bình đẳng (26) Chứa bản thân được gọi là luật số lượng lớn trong biểu mẫu được thành lập bởi Ch Quashev: Nếu các giá trị của \ Xi ^ ((i)) được hoàn toàn độc lập và có sự phân tán hạn chế, sau đó tăng N, của họ Số học trung bình \ Zeta ngày càng bị lệch khỏi kỳ vọng toán học M (\ Zeta).
Nói chính xác hơn trình tự các biến ngẫu nhiên
\ Xi ^ ((1)), \, \ Xi ^ ((2)), \, \ ldots \, \ Xi ^ ((n)), \, \ ldots
Để có được từ bất bình đẳng (26) mối quan hệ giới hạn (27), nó là đủ để đặt
T u003d \ varepsilon \ cdot \ frac (\ sqrt (n)) (c).
Loạt nghiên cứu lớn a.a. Markova, S.N. Bernstein, chúng tôi Hinchin và những người khác được dành cho câu hỏi có thể mở rộng các điều kiện áp dụng của mối quan hệ giới hạn (27), tức là các điều kiện áp dụng của luật số lượng lớn. Những nghiên cứu này có tầm quan trọng cơ bản. Tuy nhiên, một nghiên cứu chính xác về phân phối xác suất của sai lệch \ Zeta-M (\ Zeta) thậm chí còn quan trọng hơn.
Bằng khen tuyệt vời của Trường Cổ điển Nga trong lý thuyết xác suất là việc thiết lập thực tế là trong điều kiện rất rộng không có triệu chứng (tức là, với độ chính xác ngày càng chính xác n) bình đẳng
\ Mathbf (p) \! \ Left \ (t_1 \ sigma _ (\ zeta)
Ch Quashev đã đưa ra một bằng chứng gần như hoàn toàn về công thức này cho trường hợp độc lập và hạn chế. Markov bổ sung liên kết còn thiếu trong lý do của Ch Quashev và mở rộng các điều kiện ứng dụng của công thức (28). Thậm chí nhiều điều kiện chung được cung cấp Lyapunov. Câu hỏi về sự lây lan của công thức (28) về tổng của các điều khoản phụ thuộc với sự hoàn chỉnh đặc biệt được nghiên cứu bởi S. N. Bernstein.
Công thức (28) đã bao phủ một số lượng lớn các nhiệm vụ riêng tư như vậy, trong một thời gian dài, nó được gọi là định lý giới hạn trung tâm của lý thuyết xác suất. Mặc dù với sự phát triển mới nhất của lý thuyết xác suất, hóa ra sẽ được bao gồm trong một số mô hình chung hơn, tầm quan trọng của nó rất khó để đánh giá cao và bây giờ
Thời gian.
Nếu các thành phần độc lập và sự phân tán của chúng là như nhau và bằng nhau: D (\ Xi ^ ((i))) u003d \ sigma ^ 2, Sau đó, công thức (28) thuận tiện, xem xét mối quan hệ (25), đưa ra quan điểm
\ Mathbf (p) \! \ Left \ (\ frac (t_1 \ sigma) (\ sqrt (n))
Chúng tôi chỉ ra rằng tỷ lệ (29) chứa giải pháp về sự cố lệch tần số \ frac (\ mu) (n) về xác suất P, mà chúng tôi đã thực hiện trước đó. Để thực hiện việc này, chúng tôi giới thiệu các biến ngẫu nhiên \ Xi ^ (((i)) bằng cách xác định chúng với điều kiện sau:
\ Xi ^ ((i)) u003d 0, nếu i -e kiểm tra có kết quả tiêu cực,
\ Xi ^ ((i)) u003d 1, nếu thử nghiệm I -e có kết quả tích cực.
Thật dễ dàng để kiểm tra xem sau đó
LEMMA CHEBYSHEV.. Nếu một giá trị ngẫu nhiên hòxtrong đó có một kỳ vọng toán học M.[ x.] chỉ có thể chỉ nhận các giá trị phi âm, sau đó cho bất kỳ số dương nào là bất bình đẳng
Bất bình đẳng chebyshev. Nếu một hòx – Giá trị ngẫu nhiên với kỳ vọng toán học M.[ x.] và phân tán. D.[ x.], sau đó bất bình đẳng diễn ra cho bất kỳ e tích cực nào
. (2)
Định lý Ch Quashev. (Luật số lượng lớn). Để cho được hòx 1 , hòx 2 , …, x n., … – Trình tự các biến ngẫu nhiên độc lập với cùng kỳ vọng toán học m. và phân tán giới hạn bởi cùng một hằng số từ
. (3)
Bằng chứng về định lý dựa trên sự bất bình đẳng
, (4)
Định lý Bernoulli. Để nó được sản xuất n.thí nghiệm độc lập, trong mỗi trong số đó có xác suất Ở r có thể đến một số sự kiện NHƯNG , để nó đi v N.– Giá trị ngẫu nhiên bằng số lần xuất hiện của sự kiện NHƯNG Trong đó n. thí nghiệm. Sau đó cho bất kỳ eu003e 0 có một sự bình đẳng tối đa.
. (5)
. (6)
Định lý Cebyshev có thể được xây dựng theo hình thức tổng quát hơn một chút:
Tổng quát định lý Ch Quabyshev.Để cho được x 1., x 2., …, x n., … – Trình tự các biến ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng toán học M.[ x. 1 ] = m 1, m[ x 2.] = m 2, …và phân tán giới hạn bởi cùng một hằng số từ. Sau đó cho bất kỳ số dương nào e bình đẳng tối đa diễn ra
. (7)
Đặt x-bao gồm sự xuất hiện của 6 điểm ở 3600 lần ném xương. Sau đó m [ x.] u003d 3600 u003d 600. Bây giờ chúng tôi đã sử dụng bất đẳng thức (1) tại A u003d 900: .
Chúng tôi sử dụng bất đẳng thức (6) tại n u003d 10000, p u003d, q u003d. Sau đó
Xác suất xảy ra sự kiện A trong mỗi 1000 thí nghiệm độc lập là 0,8. Tìm khả năng số lần xuất hiện của các sự kiện và trong 1000 thí nghiệm này sẽ đi chệch khỏi kỳ vọng toán học của nó trong một giá trị tuyệt đối dưới 50.
Thí dụ.
Đặt x là số lần xuất hiện của các sự kiện và trong 1000 thí nghiệm được chỉ định. Sau đó m [ x.] u003d 1000 × 0.8 u003d 800 và d [ x.] u003d 1000 × 0,8 × 0,2 u003d 160. Bây giờ bất bình đẳng (2) cho:
Sự phân tán của mỗi 1000 biến ngẫu nhiên độc lập x K (K u003d 1, 2, …, 1000) là 4. Đánh giá khả năng độ lệch của số học trung bình của các giá trị này từ các kỳ vọng toán học số học trung bình trong Giá trị tuyệt đối sẽ không vượt quá 0,1.
Thí dụ.
Theo bất bình đẳng (4) tại C u003d 4 và E u003d 0,1 chúng ta có.
Định Nghĩa Intermediate Targets / Mục Tiêu Trung Hạn Là Gì?
Khái niệm thuật ngữ
Các mục tiêu tiền tệ, như tăng trưởng tiền tệ hoặc lãi suất, mà Dự trữ Liên bang thiết lập như những mục tiêu của chính sách tiền tệ. Trong những năm gần đây, Fed đã chuyển trọng tâm từ việc kiểm soát tăng và giảm của các lãi suất Quỹ Fed, để tập trung vào những mục tiêu tiền tệ và sự tăng trưởng trong cung tiền quốc gia. Cung tiền là một trong những mục tiêu này, mặc dù các chỉ báo kinh tế khác cũng được theo dõi chặt chẽ, bao gồm tổng giao dịch quỹ liên bang, dự trữ cho vay thuần và tổng dự trữ, cùng với tổng nợ trong nền kinh tế.
Xem OPERATING TARGETS.
Bạn đang đọc nội dung bài viết Định Luật Giới Hạn Trung Tâm Là Gì? trên website Sieuphampanorama.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!