Cập nhật nội dung chi tiết về Phương Trình Newton – Vật Lý Mô Phỏng mới nhất trên website Sieuphampanorama.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Theo định luật Newton thứ hai, gia tốc mà vật thu được tỉ lệ thuận với ngoại lực tác dụng lên nó:
begin{equation} a=frac{F(x,v)}{m}, label{eq:newton2} end{equation}
trong đó (m) – khối lượng của vật, (F(x,v)) – độ lớn của trường ngoại lực. Trong thực tiễn vật lý, lực tác dụng (F(x,v)) chỉ phụ thuộc vào vị trí hoặc vận tốc của vật. Nếu lực tác dụng bằng không, ta có trường hợp chuyển động thẳng đều. Nếu lực tác dụng có hướng và độ lớn không đổi, ta có trường hợp chuyển động có gia tốc không đổi, hay còn gọi chuyển động biến đổi đều. Trong trường hợp tổng quát, khi ngoại lực liên tục thay đổi, vật chuyển động nói chung phức tạp, với gia tốc thay đổi.
Bài toán cơ bản của động lực học Newton có dạng như sau: từ một trạng thái ban đầu xác định, cho biết trước quy luật tác dụng của ngoại lực, cần tìm trạng thái chuyển động của vật tại mọi thời điểm sau đó.
“Trạng thái” ta đề cập ở đây chính là toạ độ và vận tốc. Bài toán này hoàn toàn có thể giải được vì phương trình Newton (eqref{eq:newton2}) về bản chất là phương trình vi phân
begin{equation} frac{d^2x}{dt^2}=f(x,dot{x}) label{eq:ptviphan} end{equation}
với điều kiện ban đầu
[quad x(0)=x_0,quad dot{x}(0)=v_0,]
trong đó (f(x,dot{x})) – hàm số của lực tác dụng lên một đơn vị khối lượng. Bài toán giải phương trình vi phân với điều kiện ban đầu như thế còn gọi là bài toán Cauchy. Có nhiều phương pháp để giải bài toán Cauchy. Ở đây, nhằm có cái nhìn trực quan đơn giản, chúng ta dùng phương pháp dùng chuỗi Taylor.
Ta có thể dự đoán vị trí của vật tại thời điểm cách thời điểm hiện tại một khoảng (Delta t) nào đó:
begin{equation} x(t+Delta t)=x(t)+frac{dot{x}(t)}{1!}Delta t+frac{ddot{x}(t)}{2!}Delta t^2+frac{dddot{x}(t)}{3!}Delta t^3+ldots label{eq:taylor} end{equation}
Trong công thức Taylor này ta thấy xuất hiện đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của toạ độ theo thời gian. Đó chính là vận tốc và gia tốc:
begin{equation} x(t+Delta t)=x(t)+v(t)Delta t+frac{1}{2}a(t)Delta t^2+frac{dddot{x}(t)}{3!}Delta t^3+ldots label{eq:taylor2} end{equation}
Nếu vật chuyển động với gia tốc không đổi, hay (a=mathrm{const}), tất cả các đạo hàm từ bậc 3 trở đi đều trở nên bằng không:
begin{eqnarray} x^{(3)}(t)&=&a'(t)=0,nonumber\ x^{(4)}(t)&=&left(x^{(3)}right)'(t)=0,nonumber\ cdots end{eqnarray}
Từ đây ta có công thức toạ độ dành cho chuyển động biến đổi đều ((a=mathrm{const})):
begin{equation} x(t+Delta t)=x(t)+v(t)Delta t+frac{1}{2}a(t)Delta t^2. label{eq:taylor3} end{equation}
Công thức (eqref{eq:taylor3}) hoàn toàn không chứa các đạo hàm từ bậc 3 trở đi và luôn đúng với mọi khoảng thời gian (Delta t) lớn tuỳ ý.
Trên thực tế phần lớn các chuyển động diễn ra trong trường lực biến đổi, dẫn đến gia tốc luôn thay đổi. Cho nên ta thường không có công thức chính xác để tiên đoán trạng thái chuyển động. Dù vậy, nếu khoảng thời gian (Delta t=dt) đủ nhỏ, gia tốc sẽ chưa kịp biến đổi nhiều và có thể xem rằng vật đang chuyển động với gia tốc không đổi:
begin{equation} x(t+dt)approx x(t)+v(t)dt+frac{1}{2}a(t)dt^2. label{eq:taylor4} end{equation}
Từ công thức (eqref{eq:taylor4}) ta đưa ra được thuật toán dành cho việc giải phương trình Newton như sau.
Từ trạng thái ban đầu với (x(0)=x_0) và (v(0)=v_0) đã biết, ta tính được lực tác dụng lên một đơn vị khối lượng (f(x_0,v_0)=F(x_0,v_0)/m) và đó cũng là giá trị của gia tốc: (a_0=f(x_0,v_0)).
Từ định nghĩa gia tốc, ta tính được vận tốc tại thời điểm sau đó một khoảng thời gian đủ nhỏ (dt): (v_1=v_0+a_0dt).
Theo công thức (eqref{eq:taylor4}) ta cũng tính được toạ độ của vật tại thời điểm ấy: (x_1=x_0+v_0dt+1/2a_0dt^2).
Từ đây vật đã đạt đến toạ độ mới, vận tốc mới, do đó nó chịu lực tác dụng mới và gia tốc mới: (a_1=f(x_1,v_1)=F(x_1,v_1)/m). Phép tính lại quay vòng lại như cũ, lặp đi lặp lại đến bất kì thời điểm tương lai nào ta muốn.
Trong Matlab thuật toán trên thực hiện như sau:
123456
while
1
% điều kiện
t = t+dt; a = F
(
x,v
)
/m; v = v+a*dt; y = y+v*dt+
0.5
*a*dt.^
2
;
end
Ở đây (F(x,v)) là hàm số của trường ngoại lực tác dụng.
№ 219C – Kiểm Nghiệm Định Luật Charles – Vật Lý Mô Phỏng
Trong bài thí nghiệm này, chúng ta tìm hiểu sự phụ thuộc của áp suất theo nhiệt độ trong điều kiện thể tích không đổi, đồng thời kiểm nghiệm định luật Charles. Dựa trên quy luật biến đổi của áp suất theo nhiệt độ, ta có thể ngoại suy giá trị của độ không tuyệt đối.
Nguyên lý phép đo
Thực nghiệm cho thấy rằng, ba đại lượng thể tích, áp suất và nhiệt độ của một chất bất kì, rắn, lỏng, khí, vô định hình… miễn rằng mang tính đồng nhất và đẳng hướng, luôn làm thành một hàm phụ thuộc, hay còn gọi phương trình trạng thái:
f(V,P,T)=0.
Đối với khí lý tưởng, trạng thái được diễn tả qua phương trình Mendeleev-Clayperon:
pV=nu RT,tag{1}
trong đó nu – lượng chất với đơn vị mol, R=8.31,mathrm{J/(molcdot K)} – hằng số khí lý tưởng. Thực ra, trước khi đúc kết thành phương trình (1), những quy luật của khí lý tưởng được tìm ra qua các định luật riêng rẽ, như định luật Gay-Lussac (diễn tả phương trình đẳng áp), định luật Boyle-Mariotte (diễn tả phương trình đẳng nhiệt) và định luật Charles (diễn tả phương trình đẳng tích). Trong thí nghiệm này chúng ta đi kiểm nghiệm định luật Charles, diễn tả sự phụ thuộc tuyến tính của áp suất vào nhiệt độ trong điều kiện thể tích không đổi:
psim T.tag{2}
Đối tượng nghiên cứu là cột khí hình trụ chứa trong một ống thuỷ tinh như hình 1, vốn đặt vào một ống nghiệm lớn như hình 2. Cột khí này ngăn cách với khí quyển bên ngoài qua giọt thuỷ ngân màu bạc, đồng thời thông qua giọt thuỷ ngân này có thể xác định được thể tích nhờ vạch chia mm. Thể tích của cột khí được giữ nguyên không đổi nhờ một bơm chân không. Như vậy khi thay đổi nhiệt độ của cột khí,
ta điều khiển bơm chân không sao cho thể tích luôn giữ nguyên
, đồng thời quan sát sự thay đổi của áp suất thông qua áp kế:
p=p_0+p_{Hg}+Delta p,tag{3}
trong đó p_0=1011,mathrm{mbar} – áp suất khí quyển, p_{Hg} – áp suất do giọt thuỷ ngân gây ra, Delta p – chỉ số của áp kế. Lưu ý rằng Delta p của bơm chân không luôn mang giá trị âm.
Trong thí nghiệm này, nhiệt độ của cột khí được áp đặt bằng cách nhúng cột khí vào nước. Nhiệt độ của khí sẽ bằng với nhiệt độ của môi trường nước xung quanh. Mà nhiệt độ của nước ta có thể chủ động điều khiển và đo đạc.
Quy trình thí nghiệm
Chuẩn bị cột khí
Đối tượng nghiên cứu của chúng ta là một ống khí hình trụ vốn hở một đầu (hình 1). Ta cần điều chỉnh cho giọt thuỷ ngân ngăn cách nằm đâu đó giữa ống:
– Cắm đầu bơm chân không vào miệng ống khí như hình 3. – Dốc ngược ống khí và dùng bơm hút bớt khí ra làm giảm áp suất. Thuỷ ngân sẽ bị kéo vào bầu. Nếu thuỷ ngân không rơi xuống bầu, lắc nhẹ để thuỷ ngân rơi ra hết, tụ lại thành giọt. – Cẩn thận quay ống khí sao cho đầu hở hướng lên trên, giọt thuỷ ngân sẽ nằm ở dưới đáy bầu nhưng trên miệng ống. Xả van bơm chân không thật nhẹ nhàng, khí bên ngoài lại tràn vào làm tăng áp suất về như cũ. Áp suất này sẽ đẩy giọt thuỷ ngân về một vị trí nào đó giữa ống. Lưu ý tránh làm giọt thuỷ ngân vỡ, nếu không, cần phải làm lại.
Chuẩn bị môi trường
Môi trường đang nói ở đây là nước sẽ đựng trong ống nghiệm. Toàn bộ ống khí sẽ được nhúng trong ống nghiệm đầy nước này. Lấy 200,mathrm{ml} nước rồi đun lên đến 90^circmathrm{C} như hình 4. Nhiệt độ theo dõi qua cặp nhiệt điện, với màn hình quan sát LCD.
Khảo sát quá trình đẳng tích
– Rót nước 90^circmathrm{C} vào ống nghiệm như hình 5. – Đặt ống khí với nút ngăn thuỷ ngân vào ống nghiệm. – Luồn cặp nhiệt điện vào ống nghiệm để quan sát nhiệt độ.
Khí trong ống giãn nở, đến một lúc nào đó sẽ đạt đến thể tích tối đa, xả bơm chân không về 0. Ta ghi lại độ cao ban đầu h_0 của cột khí vào bảng 1, nhiệt độ ban đầu và bắt đầu tiến hành phép đo. Cứ sau 5 phút cần tiến hành quy trình sau:
– Hạ áp suất cột khí bằng bơm chân không, đến khi nào chiều cao của cột khí khôi phục giá trị h_0 ban đầu. – Ghi giá trị nhiệt độ t, ghi vào bảng 1. – Ghi giá trị áp suất Delta p trên bơm chân không vào bảng 1.
Xử lý dữ liệu
Từ điều kiện cân bằng áp suất, ta có thể tính được áp suất khí qua công thức (3):
p=p_0+p_{Hg}+Delta p.
Ở đây áp suất do giọt thuỷ ngân gây ra tính bằng:
p_{Hg} (mathrm{mbar})=frac{h_{Hg} (mathrm{mm})}{0.75,mathrm{mmHg}},
h_{Hg} – chiều cao của giọt thuỷ ngân trong ống, tính bằng đơn vị mm (xem phần lưu ý bên dưới).
Giá trị p tính được ghi vào bảng 1. Từ dữ liệu trong bảng 1 vẽ đồ thị phụ thuộc của áp suất theo nhiệt độ, từ đó đánh giá về quy luật phụ thuộc này. So sánh với định luật Charles:
psim T.tag{2}
Hãy dùng đường thẳng để khớp giá trị thực nghiệm, đồng thời ngoại suy đường thẳng này bằng cách kéo dài về bên trái, tìm giao điểm của nó với trục hoành như hình 6. Thử hình dung xem, cần phải hạ nhiệt độ thấp xuống đến giá trị bao nhiêu để cho áp suất đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0? Đó chính là nhiệt độ thấp nhất trong tự nhiên, hay còn gọi là độ 0 tuyệt đối.
Lưu ý về phép ngoại suy: Độ 0 tuyệt đối được tìm ra trên thực tế bằng cách ngoại suy tương tự như trên, nhưng chỉ là ngoại suy. Ta không thể hạ nhiệt độ của khí trong bình mãi xuống được, vì khí sẽ đậm đặc, rồi hoá lỏng… và thay đổi tính chất, không tuân theo định luật Charles nữa.
Lưu ý về đơn vị: Áp suất trong bài thí nghiệm này đều quy về đơn vị mathrm{mbar} để phù hợp với thang dụng cụ đo. Cần biết rằng, mathrm{bar} là đơn vị đo áp suất dùng trong kĩ thuật, 1,mathrm{bar}=100000,mathrm{Pa}, có giá trị rất gần với đơn vị atmosphere (101325,mathrm{Pa}). Theo đó:
1,mathrm{mbar}(mathrm{milibar})=1,mathrm{hPa}(mathrm{hectoPascal})=0.75,mathrm{mmHg}.
Một Số Mô Hình Toán Học Mô Phỏng Quá Trình Gia Tăng Dân Số
Bài viết này giới thiệu đại khái khái niệm vi phân và phương trình vi phân bậc nhất trong toán học. Mục tiêu chính cuả bài viết là giới thiệu ứng dụng cuả chúng trong việc mô hình hoá quá trình gia tăng dân số. Để đưa ra những phân tích và dự báo phù hợp với nhiều bài toán thực tế, trong rất nhiều trường hợp những người làm phân tích dữ liệu cần nắm vững một số công cụ toán học cơ bản và nâng cao. 1. Hàm số và đạo hàm
Trước tiên, ta giới thiệu một cách nôm na khái niệm hàm số và đạo hàm của hàm số. Hàm số là một khái niệm toán học mô tả mối liên hệ giữa các đại lượng. Ví dụ, nếu (t) là thời gian và (s) là quãng đường một vật đi được trong một khoảng thời gian nào đó thì (s) phụ thuộc vào (t) và ta viết (s(t)). Hoặc, nếu (p) là giá căn hộ chung cư ở một thành phố và giả sử nó phụ thuộc vào diện tích (x_1) và vị trí (x_2) của căn hộ thì ta có thể mô tả (p(x_1, x_2)). Ở trong hai ví dụ trên, (s) là hàm một biến vì nó chỉ phụ thuộc vào một biến số (t), còn (p) là hàm hai biến, phụ thuộc đồng thời vào hai biến số (x_1) và (x_2). Trong thực tế cuộc sống, các đại lượng ta quan tâm thường là các hàm số với rất nhiều biến số khác nhau, và thông thường giá trị của chúng bị chi phối bởi các yếu tố ngẫu nhiên.
Đạo hàm là khái niệm toán học cơ bản, thường được giới thiệu cho học sinh ở cấp trung học phổ thông. Nói một cách đại khái, đạo hàm được sử dụng để đo tốc độ thay đổi của các hàm số. Ví dụ, nếu (s(t)) là quãng đường đi được của một vật thể chuyển động ứng với thời gian (t) thì (s'(t)) là tốc độ thay đổi của quãng đường đo ở hai thời điểm (t) và (t) + (∆t). Nếu (∆t) đủ bé thì (s'(t)) chính là vận tốc tức thời của vật thể tại thời điểm (t). Ta có thể viết:
(begin{align*} v(t) &= frac{s(t+Delta t)-s(t)}{Delta t} \ &= s'(t), text{khi }Delta ttext{ đủ bé} end{align*})
Tương tự, nếu ta đo tốc độ thay đổi của vận tốc (v(t)) theo thời gian thì ta dùng gia tốc:
(begin{align*} a(t) &= frac{v(t+Delta t)-v(t)}{Delta t} \ &= v'(t), text{khi }Delta ttext{ đủ bé}\ &= {s}”(t) .end{align*})
Nói cách khác, gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. Nếu gia tốc càng lớn thì vận tốc thay đổi càng nhanh. Chú ý rằng thay đổi có thể theo hai chiều hướng tăng hoặc giảm: nếu vận tốc tăng theo thời gian thì gia tốc có giá trị dương, còn nếu vận tốc giảm theo thời gian thì gia tốc có giá trị âm. Khi vật thể chuyển động đều, vận tốc không thay đổi thì gia tốc bằng không. Cũng chú ý rằng gia tốc là đạo hàm bậc hai của quãng đường theo thời gian.
2. Số lượng cá thể cuả một quần thể
Tiếp theo, ta xét một quần thể thực thể sống bất kì, thường là quần thể động vật, thực vật hay loài người. Ta quan tâm tới việc mô phỏng số lượng cá thể tại một thời điểm (t) nào đó, kí hiệu là (P(t)). Tại thời điểm ban đầu, số lượng cá thể là (P(0) = P_0).
Có hai yếu tố ảnh hưởng tới (P(t)) ở mỗi thời điểm. Một là số lượng thực thể được sinh ra, kí hiệu là (B(t)). Hai là số lượng cá thể chết đi, kí hiệu là (D(t)). Ta có thể sử dụng một giả định đơn giản để xấp xỉ các đại lượng (B(t)) và (D(t)) là chúng tỉ lệ thuận với (P(t)) tương ứng với các hằng số (r_b) và (r_d) cố định nào đó, nghĩa là:
begin{align*}B(t) &= r_bP(t) \ D(t) &= r_dP(t) end{align*}
Ở mỗi thời điểm (t), sự sai khác về dân số của quần thể có thể được mô tả bằng một phương trình vi phân sau:
begin{align*}P'(t) &= B(t) – D(t)\ &= r_bP(t) – r_dP(t)\ &= (r_b – r_d)P(t) .end{align*}
Nếu kí hiệu độ chênh lệch giữa hai tỉ lệ là (r) thì ta có
begin{align*}P'(t) &= rP(t).end{align*}
Chú ý rằng (P'(t)) là đạo hàm (hay vi phân) bậc nhất của hàm số (P(t)). Với điều kiện ban đầu (P(0) = P_0), nghiệm của phương trình vi phân này chính là hàm mũ với cơ số (e):
begin{equation*}P(t) = P_0 e^{rt}.end{equation*}
Mô hình dân số ở trên có một điểm chưa phù hợp với thực tế, đó là dân số có thể gia tăng mãi mãi hoặc giảm mãi mãi. Để tăng tính hợp lí của mô hình, ta có thể thêm giả định là dân số bị chặn bởi một ngưỡng (C) nào đó, khi dân số càng gần tới ngưỡng thì tốc độ (r) càng bé. Điều này là phù hợp, vì khi dân số ngày càng đông thì tính cạnh tranh trong mọi vấn đề (nguồn thức ăn, tính sinh tồn, v.v.) ngày càng cao. Những yếu tố này ảnh hưởng trực tiếp đến tốc độ (r). Ta có thể lấy một ví dụ thực tế về sự thay đổi của dân số thế giới theo một số mốc thời gian, như trong Hình 2.
Ta thấy mặc dù dân số có xu hướng tăng dần theo thời gian nhưng tốc độ tăng lại không giống nhau trong mỗi giai đoạn, và đang có xu hướng giảm dần. Như trong Hình 3, trong 70 năm đầu tiên của thế kỉ 20, dân số tăng rất mạnh với tỉ lệ cao nhất là 2.1%, sau đó bắt đầu xu hướng giảm, và dự kiến tới năm 2100 thì chỉ tăng cỡ 0.1% hàng năm.
Trong mô hình dân số cuả quần thể là bị chặn, ta có mô phỏng sau:
begin{equation*} r = v left (1 – frac{P}{C} right ). end{equation*}
Nói cách khác khi (P) tiến dần tới (C) thì (r) tiến dần về 0. Trong mô hình mới này, ta có
begin{equation} P'(t) = v left (1 – frac{P}{C} right ) P(t). label{eq:2} end{equation}
Nghiệm của phương trình vi phân này là một hàm logistic:
begin{equation*} P(t) = frac{C}{1 + K e^{-vt}}, text{ với } K = frac{C – P_0}{P_0}. end{equation*}
3. Kết luận
Trong bài viết ngắn này, chúng ta đã tìm hiểu sơ bộ ứng dụng của một số kiến thức toán học cơ bản về phương trình vi phân bậc nhất để mô phỏng sự thay đổi theo thời gian của một số đại lượng cần phân tích, như dân số của một quần thể. Trong bài viết tiếp theo, chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu một số mô hình sử dụng các kiến thức cơ bản về đạo hàm và phương trình vi phân như các mô hình lan truyền dịch bệnh, mô hình thú và mồi. Một số mô hình có lời giải dưới dạng giải tích, do đó việc mô phỏng là dễ dàng. Một số mô hình cần được rời rạc hoá và giải xấp xỉ sử dụng một số công cụ toán học cơ bản trong giải tích, giải số phương trình vi phân và khoa học máy tính.
Lê Hồng Phương Phòng Thí nghiệm Khoa học Dữ liệu, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội
Chương Trình Vật Lý Ib
ITT – được biết đến như một môn học khơi dậy sự sáng tạo và thúc đẩy sự phát triển của học sinh về các quy luật vận động của vũ trụ.
Chương trình IB cơ bản có hai loại: cấp chứng chỉ và nhận bằng tốt nghiệp. Học sinh cũng có thể lựa chọn các môn học từ cơ bản đến nâng cao tùy theo năng lực mỗi người. Chương trình đào tạo sẽ trang bị nền tảng tiền cử nhân để học sinh bước vào cánh cửa tương lai rạng ngời được chào đón bởi các trường đại học hàng đầu trên thế giới.
IB Vật lý là khóa học kéo dài 2 năm (trình độ cơ bản hoặc nâng cao) nhằm đáp ứng yêu cầu về môn khoa học cho bằng Tú tài Quốc tế (IBDP). Khóa học bao gồm sự đo lường và tính bất định, cơ học, nhiệt lý học, sóng, điện và từ trường, chuyển động tròn và sự hấp dẫn, sản xuất năng lượng. Học sinh cũng được khám phá về nguyên tử, hạt nhân, vật lý nghiên cứu về các hạt, cũng như những hiện tượng, các trường vật lý, cảm ứng điện từ, vật lý lượng tử, tính tương đối, vật lý công trình, hình ảnh và vật lý học thiên thể.
Một lưu ý quan trọng trước khi đăng ký học chương trình Vật lý IB, đó là bạn hãy trang bị cho mình kiến thức nền tảng vững chắc về Vật lý phổ thông, bởi đó sẽ là công cụ hữu ích để bạn tiến gần hơn việc chinh phục ước mơ cùng với những kiến thức khoa học chuyên sâu mang tầm nhìn ở khía cạnh khoa học và hàn lâm.
Không chỉ vậy, IB Vật lý sẽ gíúp bạn vận dụng những tri thức ấy vào hoạt động sống hằng ngày. Đó cũng chính là thế mạnh mà IB Vật lý mang lại, chuyên sâu nhưng cũng rất thiết thực.
Với những ưu điểm trên, chương trình Vật lý IB chắc chắn sẽ là cánh cửa tri thức mới mở đường cho bạn đạt được và chiếm lĩnh các quy luật vận động của thế giới này.
Bạn đang đọc nội dung bài viết Phương Trình Newton – Vật Lý Mô Phỏng trên website Sieuphampanorama.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!